Родился в Верхней Салде Свердловской области, в семье рабочего. Учился в верхнесалдинской школе № 9, школе ФЗО. Работал электрослесарем нижнетагильской конторы электромонтажа. Участник Великой Отечественной войны, на фронт ушел добровольцем 2 июля 1942 г., участвовал на Воронежском и 1-м Украинском фронтах, был командиром орудия 7-й батареи 576-го артиллерийского Краснознаменного полка 167-й стрелковой Сумско-Киевской дважды Краснознаменной дивизии. Евстигнеев награжден медалью «За отвагу». Погиб в бою у д. Тихоновка Черкасской области. Звание Героя Советского Союза присвоено посмертно 24 мая 1944 г.
Евстигнеев Алексей Алексеевич : [Герой Сов. Союза, участник Великой Отеч. войны (13.03.1919—25.01.1944), уроженец Верх. Салды] // Не померкнет летопись побед : рек. список лит. / ЦГБ ; сост. В. Ю. Хабарова. — Верхняя Салда, 2004. — Вып. 2. — С. 6—7.
Заводская Л. «Да будет бессмертно имя сына уральской земли» // Салдинские вести. — 2004. — 25 марта.
Лысанова Н. Память о герое : [вечер к 85-летию со дня рождения А. А. Евстигнеева в ЦГБ, Верх. Салда] // Салдинский рабочий. — 2004. — 8 апр.
[Евстигнеев Алексей Алексеевич] // Верхняя Салда / отв. ред. В. С. Прядеин. — Екатеринбург, 1998. — С. 211—213 : порт.
Старыгин С. Евстигнеев Алексей Алексеевич // Золотые звезды свердловчан : сб. очерков и воспоминаний о свердловчанах — Героях Советского Союза. — Свердловск, 1967. — С. 99—100 : портр.
