Родился в Верхней Салде Свердловской области, в семье рабочего. Учился в верхнесалдинской школе № 9, школе ФЗО. Работал электрослесарем, участник Великой Отечественной войны: на фронт ушел добровольцем 2 июля 1942 г., участвовал на Воронежском и 1-м Украинском фронтах, был командиром орудия 7-й батареи 576-го артиллерийского Краснознаменного полка 167-й стрелковой Сумско-Киевской дважды Краснознаменной дивизии. Алексей Алексеевич награжден медалью «За отвагу». Погиб в бою у дер. Тихоновка Черкасской области. Звание Героя Советского Союза присвоено посмертно 24 мая 1944 г.
----------------
Федосеев В. Еще одна почесть герою : [митинг, посвященный открытию мемориальной доски на памятнике А. А. Евстигнееву] // Биржа новостей. – 2020. – № 32(21 авг.). – C. 5 : фот.
Заводская Л. Подвиг во имя победы : [мероприятие, посвященное 100-летию со дня рождения А. А. Евстигнеева] // Биржа новостей. – 2019. – № 10. – C. 6–7 : фот.
И помнит Верхняя Салда своего героя : [100 лет со дня рождения А. А. Евстигнеева] // Новатор. – 2019. – № 11. – C. 6 : фот.
Приймакова О. Семнадцать строк из окопа : [музей школы № 3 хранит письма Героя Советского Союза А. А. Евстигнеева] // Новатор. – 2017. – № 18. – С. 6 : фот.
Евстигнеев Алексей Алексеевич // Не померкнет летопись побед : рекомендательный список литературы / ЦГБ ; сост. В. Ю. Хабарова. – Верхняя Салда, 2004. – Вып. 2. – С. 6–7.
Лысанова Н. Память о герое : [вечер, посвященный 85-летию со дня рождения А. А. Евстигнеева] // Салдинский рабочий. – 2004. – 8 апр.
[Евстигнеев Алексей Алексеевич] // Верхняя Салда / отв. ред. В. С. Прядеин. – Екатеринбург, 1998. – С. 211–213 : порт.
Старыгин С. Евстигнеев Алексей Алексеевич // Золотые звезды свердловчан : сб. очерков и воспоминаний о свердловчанах – Героях Советского Союза. – Свердловск, 1967. – С. 99–100 : портр.
