Родился в Верхней Туре, в семье служащего. После окончания Талицкого лесотехнического техникума (1936) работал лесоводом в Верхнетуринском леспромхозе. С 1938 г. служил в Советской Армии. Награжден орденами Красной Звезды, Отечественной войны I степени. Его именем названа улица в родном городе, ежегодно проводятся турниры по боксу на приз Героя Советского Союза.
-------------------
Мурзин Г. Герой погиб, так и не увидев дочь : [биография А. Гробова] // Областная газета. — 2010. — 21 сент. — C. 10 : фот.
Воинская слава — традиции мужества // Верхняя Тура: завод и город. 270 лет. / под общей ред. П. А. Коновалова. — Екатеринбург, 2007. – С. 289–290.
Александрова Л. Улица Гробова // Голос Верхней Туры. – 2006. – 11 мая.
[Гробов Анатолий Александрович] // Дети горы Благодать : [Кушва. Верхняя Тура. Нижняя Тура. Арти] : культур.-ист. очерки / Петр Коновалов [и др.]. — Екатеринбург, 2006. — С. 162 : фот.
Герой Советского Союза Гробов Анатолий Александрович // Книга памяти. — Кушва, 1994. — Т. 1. — С.14, 44.
Гробов Анатолий Александрович // Герои Советского Союза. — М, 1987. — Т. 1. — С. 379.
Гробов А. А. Из писем матери // Живые строки войны… — Свердловск, 1980. — С. 166—167.
