Переход на главную страницу

С. А. Нефедов

ПРОСТЕЙШАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ЦИКЛА

Согласно представлениям неомальтузианской теории (см., например, Le Roy Ladurie 1966) ограниченность ресурсов в традиционных обществах периодически приводит к перенаселению и кризисам, принимающим масштабы демографических катастроф. Таким образом, динамика населения носит циклический характер, и исторический процесс складывается из так называемых демографических циклов. В последнее годы изучение демографических циклов проводится с широким использованием экономико-математических моделей. Это новое направление исследования представлено, в том числе, в работах Дж. Комлоса, А. В. Коротаева, П. Турчина, Д. А. Халтуриной, С. Ю. и А. С. Малковых, С. В. Циреля, а также в работах автора (Komlos, Nefedov 2002; Korotaev, Khaltourina 2006. Коротаев, Малков, Халтурина 2005; Nefedov 2003; Tsirel 2005; Turchin 2003, Нефедов, Турчин 2006.).

В этой краткой заметке мы опишем простейшую итерационную модель, призванную продемонстрировать основной механизм демографического цикла и предназначенную, в основном, для учебных целей. В итерационных моделях вычисления производятся от года к году, при этом они являются более гибкими, чем диференциальные модели, и позволяют учитывать большее число факторов. Взяв за основу предлагаемую программу, можно при желании расширить ее, учитывая действие других механизмов и процессов.

Для удобства мы будем рассматривать не календарные, а хозяйственные годы, которые начинаются со сбора урожая. Численность населения (N), выражается в числе дворов или семей (условно можно считать населенность двора в 5 человек). Крестьянский двор, в теории (то есть, когда хватает земли), обрабатывает стандартный участок земли (такой участок назывался на Ближнем Востоке «чифт»), и максимально возможную площадь пахотных земель мы будем измерять числом стандартных участков S. Когда численность дворов N превосходит S, на некоторых участках может разместиться две семьи.

Пусть а – урожайность, выраженная числом минимальных семейных пайков зерна, которые можно собрать со стандартного участка. Урожайность не является постоянной величиной, поэтому мы зададим ее в виде a=a₀+d, где a₀ – средняя урожайность, d – случайная величина, принимающая значения на отрезке (-а₁, а₁). При принятых нами единицах измерения урожай Y (в числе пайков) можно выразить в простой форме:

Y=aN если N<S,

Y=aS eсли N>S.

Если имеются излишки, то есть душевое производство y_n =Y/N больше некоторой величины «удовлетворительного потребления» p₁ (p₁>1), то крестьяне потребляют не все это зерно, откладывая часть излишков в запас (мы будем для простоты полагать, что они откладывают половину излишков).

Нужно отметить, однако, что в силу условий хранения крестьянские запасы не могут увеличиваться до бесконечности, и ограничены некоторой величиной Z₀. Если же потребление падает ниже уровня p₁, то крестьяне берут зерно из запасов, поднимая, по возможности, потребление до уровня p₁.

Таким образом, потребление и запасы выразятся формулами:

если y_n > p_1, то p = p₁ + (y_n - p₁) / 2 и Z = Z + (yn - p₁) / 2

при этом, если Z > Z₀ , то Z = Z₀ и p = p₁ + (y_n - p₁) / 2 + (Z -Z₀)

если же y_n < p₁ то вычисляется величина нехватки d_p = (p₁ - y_n) * N

и если Z > d_p то p = p₁ и Z уменьшается на d_p

если же Z < d_p то p = (Y + z) / N и Z = 0

Коэффициент роста населения r есть отношение населения последующего года к населению предыдущего года. Коэффициент роста r зависит от потребления. Когда потребление равно минимальной норме (p=1), население остается постоянным (r=1). Максимальный естественный рост обозначим r_m, а величину потребления, при которой он достигается – p_m. Мы полагаем r_m =1,02, то есть максимальное увеличение численности населения составляет 2% в год. Мы будем считать, что при 1<p<p_m рост населения линейно зависит от потребления, а при p>p_m уже не увеличивается (r=r_m). При p<1 зависимость r от p берется в форме r=p, то есть в случае голода выживает столько людей, сколько имеется продуктовых пайков (все люди, не обеспеченные пищей на год, погибают).

Таким образом, коэффициент роста r вычисляется по следующим формулам:

если p > 1 то r = a₀₁ * p + (1 - a₀₁), где a₀₁ = (r_m - 1) / (p_m - 1)

При этом, если r > r_m то r = r_m

если же p < 1 то r = p

На Ближнем Востоке и в России достаточно типичным был случай, когда каждая семья могла получать со стандартного участка два минимальных пайка, то есть a₀ было порядка двух. Разброс урожайности был довольно большим, в Египте, например, порядка 60% от среднего урожая. Что же касается случайной величины d, то ее можно аппроксимировать квадратом равномерного распределения (Нефедов, Турчин 2006). Максимальное число стандартных участков S условно можно считать равным 1 млн., a максимальные запасы – восьмилетними. Расмотрим сначала случай, когда крестьяне, вооруженные опытом поколений, начинают откладывать зерно в запас, как только душевое производство превышет 1,05 минимальной нормы. Поскольку в результаты расчета зависят от случайной величины (урожайности), то они будут различными при разных прогонах программы. Однако в качественном отношении получается достаточно типичная картина демографических циклов, периодов роста населения, перемежающихся демографическими катастрофами. Продолжительность цикла при этом зависит от масштабов предшествующей катастрофы (рис.1).

Рис.1 Пример расчета по модели при r_m =1,02, p_m = 2, a = 2, а₁=1,2, p₁=1,05.

Рассмотрим теперь случай, когда крестьяне пренебрегают созданием запасов, потребляя практически весь выращенный хлеб, в этом случае можно взять, например, p₁=2 .

Рис.2 Пример расчета по модели при r_m =1,02, p_m = 2, a = 2, а₁=1,2, p₁=2.

В этом случае мы наблюдаем хаотические колебания численности населения, обусловленные тем, что в отсутствие запасов каждый неурожай приводит к гибели значительной части земледельцев. Эта картина, очевидно, не соответсвует исторической реальности. Таким образом, главной причиной наличия зафиксированных в истории многих стран демографических циклов является практика создания земледельцами достаточно больших запасов зерна.

Конечно, данная модель описывает лишь основной механизм демографического цикла, упуская из виду многие детали, например, существование государства и военной элиты или развитие крупного помещичьего землевладения. Эти факторы учтены в других моделях (Nefedov 2003; Нефедов, Турчин 2006) и расчеты по ним показывают, что по сравнению с предлагаемой моделью качественная картина циклов меняется незначительно. В целом, можно, по-видимому, утверждать, что предлагаемая простейшая модель отражает основной механизм демографического цикла – и существо этого механизма заключается в том, что наличие у крестьян запасов зерна долгое время позволяет стабилизировать экономику, однако с ростом населения запасы истощаются и крупные неурожаи рано или поздно приводят к катастрофическому голоду, сопровождаемому эпидемиями, восстаниями голодающих, а также вторжениями внешних врагов, которые спешат воспользоваться кризисом. В итоге, численность населения может сократиться в полтора, в два раза – а затем, начинается новый демографический цикл. В расчетах по модели он начинается сразу после катастрофы, но в реальности кризисные факторы, такие как войны и восстания, имеют некоторую инерцию, они препятствуют восстановлению экономики, поэтому стабилизация наступает не сразу.

Приложение

Программа, моделирующая простейший алгоритм демографического цикла (заархивированный xls-файл, 108 кб)

Литература

Коротаев, А. В., Малков, А. С., Халтурина, Д. А. 2005; Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов. Демография, экономика, войны. М.: URSS.

Нефедов, С. А., Турчин, П. В. 2006. Опыт моделирования демографически-структурных циклов История и математика: Макроисторическая динамика общества и государства. М.: КомКнига. - С. 153-167.

Komlos, J., Nefedov S. 2002. Compact Macromodel of Pre-Industrial Population Growth. Historical Methods. (35): 92-94.

Le Roy Ladurie, E. 1966. Les Paysans de Languedoc. Vol.1-2. Paris : S.E.V.P.E.N.

Nefedov, S. 2003. A model of demographic cycles in a traditional society: the case of Ancient China. Chinese Journal of Population Science. (3): 48-53.

Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics/ Ed. by M. Dmitriev and A. Petrov, pр. 367–369. Moscow: Russian State Social University.

Turchin, P. 2003. Historical Dynamics. Why States Rise and Fall. Princeton and Oxford: Princeton university press.

Turchin, P. 2005. Dynamical Feedbacks between Population Growth and Sociopolitical Instability in Agrarian States. eJournal of Anthropological and Related Sciences. (1): 1-19.